経済的負担も考えて、大学は費用の抑えられる国公立を目指していますが、できれば奨学金も欲しいと思っています。
関東地方で、学校独自の奨学金が出る国公立大学はどこがありますか？

国公立大学でも各学校独自に奨学金を用意している学校も多くあります。
ですが、対応学年や応募資格など、諸条件がさまざまです。（こればかりは独自なので、統一されたものはありませんね）
各大学の入試広報課等に、個別にお問い合わせされるのが一番確実です。特に遠慮することはありませんので、電話やメール等で問い合わせてみましょう。