質問ですが、公立の看護系で一般入試で二次試験というのは課されるのでしょうか？
また勉強についてですが、数学では、対称式や、二重根号は毎年どの学校もテストに出題されますか？
英語は高校の応用が分からないので中学の勉強をやり直してます。高校は構文がありますが、中学の問題だけで身につくんでしょうか？
国語も基礎をやればいいんですか？

ご質問の二次試験についてですが、おそらく一次試験通過者に対する二次試験の有無についてのお尋ねだと思いますが、これは学校によってさまざまですので、お手数でもガイド等で、志望校ごとに確認して頂いた方が良いでしょう。一般に、二次試験は、論文・面接を行うところが多いようです。
それ以外に単に、2回目の募集を、二次試験と呼んでいるところもあります。少しややこしいですが、受験対策の一環として、しっかり学校研究もされて下さい。

勉強についてのご質問ですが、まず数学です。対称式や二重根号は、数学Iを理解する上で、必要な要素ですので、しっかり押さえるようにして下さい。こうした用語に関連する問題での出題は、決して少なくないでしょう。

次に英語ですが、中学文法は大変重要ですので、中途半端な箇所がないようしっかり復習してください。しかし、それだけでは不十分なので、高校範囲の文法も、マスターしなければなりません。
高校での構文ですが、中学の問題だけでは、扱っていないものが多いので、高校範囲に沿って、こちらも学習する必要があります。

最後に、国語ですが、知識分野（漢字、ことわざ、格言、故事成語、文学史等）はしっかりやっておきましょう。同時に、読解力も養成していかなければなりません。読解力養成には、予習が不可欠です。宿題に出ていなくても、かならず予習を慣行して、学校での授業に臨むようにしましょう。これだけでも、随分と読解力アップに役立つはずです。

さて、各質問を拝見する限り、高校の学習内容にご苦労されているのではないかと思います。大学はもちろんですが、専門学校も准看護学校以外は、高校学習内容からの出題となりますので、中学レベルでの学力では、残念ながらあまり得点には結びつかないと思います。各教科の枝葉末節にとらわれず、漏れのない学習を目標に取り組んで下さい。